Teleportacja kwantowa

Poszczególne etapy teleportacji kwantowej kubitu Q ze stacji A do stacji B. Źródło S tworzy parę splątanych kubitów, z których lewy jest wysyłany do stacji A a prawy do stacji B. Stacja A mierzy kubit Q oraz kubit lewy otrzymując jeden z czterech możliwych wyników (w wyniku czego określony zostaje ich stan oraz stan kubitu prawego) i przekazuje wynik pomiaru klasycznym kanałem transmisji (min. dwa bity) do stacji B. Stacja B, na podstawie otrzymanego komunikatu, dobiera jedną z czterech bramek kwantowych, aby zmienić swój prawy kubit w kubit Q.

Teleportacja kwantowa (QT z ang. quantum teleportation) – w kwantowej teorii informacji technika pozwalająca na przeniesienie stanu kwantowego na dowolną odległość z wykorzystaniem stanu splątanego.

Informacja nie może być w ten sposób transmitowana z prędkością nadświetlną. Teleportacja kwantowa jest użyteczna w komunikacji kwantowej oraz podczas obliczeń kwantowych. Teleportacja kwantowa jest całkowicie bezpieczna, tzn. podsłuchanie teleportowanej wiadomości pogwałciłoby prawa mechaniki kwantowej.

Pierwszej kwantowej teleportacji dokonano w 1997 roku. 7 lat później teleportowano stan kwantowy jednego atomu do drugiego. W 2006 roku teleportowano kwantowy stan impulsu światła do biliona atomów cezu. 5 lat później teleportowano pierwszą falę świetlną. Rok później wyrównano ówczesny rekord w najdalszej teleportacji kwantowej, dokonując jej na odległość 143 kilometrów. Również w 2012 roku teleportowano stan kwantowy grupy atomów do drugiej. W 2013 roku kubity materii teleportowano na rekordową odległość 21 metrów.

Cel

W artykule zgodnie ze standardowym nazewnictwem stosowanym w informatyce kwantowej przyjęto następujące oznaczenia: dwie cząstki to Alicja (A) i Bob (B), a kubit w ogólności jest superpozycją stanów kwantowych oznaczanych jako $|0\rangle$ i $|1\rangle .$ Równoważnie kubit może być traktowany jako wektor jednostkowy w dwuwymiarowej przestrzeni Hilberta.

Załóżmy, że Alicja ma kubit w dowolnym stanie kwantowym $|\psi \rangle ,$ ten stan nie jest znany Alicji, która chce wysłać go do Boba. Alicja może:

1. Fizycznie przetransportować kubit do Boba.
2. Nadać informację kwantową do Boba, który będzie ją mógł odebrać przez odpowiedni odbiornik.
3. Zmierzyć nieznany kubit, do którego ma dostęp. Potem przesłać komunikat do Boba, który zgodnie z otrzymanymi wynikami przygotuje odpowiednio swój kubit i uzyska w ten sposób pożądany stan kwantowy. (Taki hipotetyczny proces nazywany jest klasyczną teleportacją).

Pierwsze rozwiązanie jest trudne do wykonania, bo stany kwantowe bardzo łatwo ulegają dekoherencji. Najmniejsze zaburzenie w otoczeniu może całkowicie zniszczyć informację kwantową podczas transportu.

Drugie i trzecie rozwiązanie stoją w sprzeczności z matematyką kwantową. Informacja kwantowa nie może być przekazywana za pośednictwem informacji klasycznej. Jest to sprzeczne między innymi z zakazami klonowania, usuwania i ukrywania.

Wydawać by się mogło, że Alicja stoi przed problemem pozornie nie do rozwiązania. Sposób na wybrnięcie z tego kłopotu znaleźli fizycy w roku 1993. Maksymalnie splątane części dwukubitowego stanu kwantowego są dostarczane do Alicji oraz do Boba. Protokół kwantowy zakłada, że Alicja i Bob lokalnie oddziałują ze swoim kubitem. W tym czasie Alicja wysyła dwa lokalne bity do Boba, który dzięki temu może transformować unitarnie swój kubit w kubit Alicji.

Protokół teleportacji kwantowej

Protokół teleportacji kwantowej

Rodzaj	algorytm kwantowy (protokół kwantowy)

Protokół teleportacji kwantowej składa się z dwóch etapów:

1. pomiaru,
2. odtwarzania.

Pomiar

Obwód kwantowy wykonujący procedurę teleportacji kwantowej

Załóżmy, że Alicja ma kubit, który chce teleportować do Boba. W ogólności kubit ten można zapisać jako: $|\psi _{o}\rangle =\alpha |0\rangle _{o}+\beta |1\rangle _{o}$ Indeks $O$ oznacza oryginalny kubit do teleportacji. Wektory jednostkowe $|0\rangle$ i $|1\rangle$ są dwoma podpoziomami stanu kwantowego, który jest ich superpozycją.

Nasz algorytm teleportacji zakłada, że Alicja i Bob mają uprzednio dostęp do maksymalnie splątanego stanu kwantowego, np. do dwóch cząstek w stanie Bella:

$|\Phi ^{+}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}+|1\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}),$

lub innego stanu Bella. Alicja bierze jedną z cząstek z pary, a Bob dostaje drugą. Indeks $A$ i $B$ w stanie splątanym odnoszą się do cząstek Alicji i Boba.

Alicja ma dwie cząstki, czyli cząstkę $O,$ której stan chce teleportować, oraz cząstkę $A,$ która tworzy stan splątany w parze z cząstką $B,$ należącą do Boba. W takim systemie stan wszystkich trzech cząstek jest dany jako:

$|\psi _{o}\rangle \otimes |\Phi ^{+}\rangle =(\alpha |0\rangle _{o}+\beta |1\rangle _{o})\otimes \left({\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}+|1\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B})\right)$

Alicja wykonuje pomiar w bazie Bella na swoich dwóch kubitach. Aby wynik jej pomiaru stał się jasny, przepiszemy dwa kubity Alicji w bazie Bella korzystając na następujących ogólnych tożsamości (można je łatwo zweryfikować):

$|0\rangle \otimes |0\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|\Phi ^{+}\rangle +|\Phi ^{-}\rangle ),$

$|0\rangle \otimes |1\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|\Psi ^{+}\rangle +|\Psi ^{-}\rangle ),$

$|1\rangle \otimes |0\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|\Psi ^{+}\rangle -|\Psi ^{-}\rangle ),$

i

$|1\rangle \otimes |1\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|\Phi ^{+}\rangle -|\Phi ^{-}\rangle ).$

Korzystając z tych wyrażeń, po kilku przekształceniach uzyskujemy następującą zależność opisującą stan kwantowy trzech cząstek:

$|\Phi ^{+}\rangle _{A}\otimes (\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle )_{B}+|\Phi ^{-}\rangle _{A}\otimes (\alpha |0\rangle -\beta |1\rangle )_{B}+|\Psi ^{+}\rangle _{A}\otimes (\beta |0\rangle +\alpha |1\rangle )_{B}+|\Psi ^{-}\rangle _{A}\otimes (-\beta |0\rangle +\alpha |1\rangle )_{B}.$

Należy zauważyć, że jak dotąd zmieniono tylko bazę w części systemu kwantowego należącej do Alicji. Żadnej operacji jeszcze nie przeprowadzono i cząsteczki ciągle są w tych samych stanach. Właściwa teleportacja ma miejsce kiedy Alicja mierzy dwa kubity w bazie Bella. Zgodnie z powyższym wyrażeniem stan kwantowy trzech cząstek może zostać zaobserwowany podczas pomiaru jako jeden ze stanów (wszystkie mają równą szanse na zaistnienie):

• $|\Phi ^{+}\rangle _{A}\otimes (\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle )_{B}$
• $|\Phi ^{-}\rangle _{A}\otimes (\alpha |0\rangle -\beta |1\rangle )_{B}$
• $|\Psi ^{+}\rangle _{A}\otimes (\beta |0\rangle +\alpha |1\rangle )_{B}$
• $|\Psi ^{-}\rangle _{A}\otimes (-\beta |0\rangle +\alpha |1\rangle )_{B}$

Dwie cząstki Alicji są teraz splątane ze sobą, w jednym z czterech stanów Bella. Splątanie między stanami kwantowymi Alicji i Boba zostało zerwane. Cząstka Boba jest w jednym z układów superpozycji przedstawionych powyżej.

Etap polegający na lokalnym pomiarze wykonanym przez Alicję w bazie Bella został wykonany i jasne jest co należy zrobić dalej. Alicja musi wysłać wynik tego pomiaru klasycznym kanałem komunikacji do Boba, co wymaga co najmniej dwóch bitów. Na tej podstawie Bob zastosuje odpowiednią bramke kwantową, aby transformować swoją cząstkę $B$ w kubit $|\psi _{o}\rangle$.

Odtworzenie

Bob po odebraniu dwóch klasycznych bitów od Alicji, będzie wiedział, w którym z czterech stanów znajduje się cząsteczka. Korzystając z tych operacji unitarnych na cząsteczce, aby przekształcić jej stan do pożądanego stanu $\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle {:}$

• Alicja przekazała wynik $|\Phi ^{+}\rangle ,$ więc Bob wie, że jego kubit jest już we właściwym stanie i nie należy nic robić. Odpowiada unitarnej operacji przyrównania.

• Alicja przekazała wynik $|\Phi ^{-}\rangle ,$ Bob prześle kubit przez unitarną bramkę opisaną macierzą Pauliego:

$\sigma _{3}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}$

i odzyska oryginalny stan kwantowy.

• Kiedy Alicja prześle informacje o pomiarze $|\Psi ^{+}\rangle ,$ Bob zastosuje bramkę

$\sigma _{1}={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}$

na swoim kubicie.

• W ostatnim przypadku odpowiednia bramka jest określona przez zależność

$\sigma _{3}\sigma _{1}=i\sigma _{2}={\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}.$

W ten sposób teleportowano stan kwantowy cząstki.

Eksperymentalnie pomiary tego typu mogą zostać wykonane przez Alicję z wykorzystaniem serii impulsów laserowych skierowanych na obie cząstki.

Uwagi

• Po tej operacji, kubit Boba przyjmie stan $|\psi \rangle =\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle ,$ a kubit Alicji stanie się nieokreśloną częścią stanu splątanego. Teleportacja nie prowadzi do kopiowania kubitów, więc nie łamie zakazu klonowania.

• Materia lub energia nie została przetransportowana. Cząstki Alicji nie przeniesiono fizycznie do Boba, tylko jej stan kwantowy. Pojęcie teleportacji zostało użyte przez Bennetta i innych autorów publikacji z 1993 roku, ponieważ cząsteczki w mechanice kwantowej są nierozróżnialne. Cząstki opisuje wyłącznie ich stan kwantowy, więc jego przeniesienie pozwala na uzyskanie wiernego odwzorowania oryginalnej cząstki.

• Teleportacja łączy komunikację prowadzoną przez kanał kwantowy i klasyczny. Oba są niezbędne, bo usunięcie, któregokolwiek prowadziłoby do paradoksów sprzecznych albo ze szczególną teorią względności, albo z mechaniką kwantową. Usunięcie klasycznego kanału komunikacji prowadziłoby do transmisji informacji z prędkością nadświetlną. Usunięcie kanału kwantowego łamałoby zakaz klasycznej teleportacji, który uniemożliwia przeniesienie stanu splątanego od Alicji do Boba.

• Dla każdego przesłanego kubita, Alicja musi wysłać do Boba dwa klasyczne bity informacji. Tak jak można się spodziewać bity nie niosą pełnej informacji o teleportowanym kubicie. Gdyby Ewa przechwyciła dwa bity nie zdoła odtworzyć stanu kubita, mimo że wie co Bob musi zrobić, aby go odczytać. Ewa nie może w żaden sposób oddziaływać na kubit Boba, bo w ten sposób doprowadzi do dekoherencji splątanego stanu kwantowego.

Alternatywny opis

W literaturze pojawiają się alternatywne opisy teleportacji kwantowej, które są całkowicie równoważne protokołowi opisanemu powyżej. Unitarne operacje, które zmieniają bazę na bazę Bella, mogą zostać praktycznie wykonane przez bramki kwantowe. Realizującą to bramkę można opisać jako:

$G=(H\otimes I)\;C_{N},$

gdzie $H$ jest jednokubitową bramką Hadamarda, a $C_{N}$ oznacza bramkę CNOT.

Wymiana splątania

Splątanie można odnieść nie tylko do czystych stanów kwantowych, ale również do stanów mieszanych. Wymiana splątania jest prostą ilustracją tej właściwości układów kwantowych.

Jeżeli Alicja ma cząsteczkę w stanie splątanym z cząstką posiadaną przez Boba, a Bob teleportuje ją do Karoliny, wtedy cząsteczka Alicji będzie splątana z cząsteczką Karoliny.

Cały proces można opisać bardziej symetrycznie w następujący sposób: Alicja ma jedną cząsteczkę, Bob dwie, a Karolina jedną. Cząsteczka Alicji i pierwsza cząsteczka Boba są splątane, a tak samo jak druga cząsteczka Boba i cząsteczka Karoliny:

                        ____________
                       /            \
                   Pierwsza        Druga
 Alicja-:-:-:-:-:-cząsteczka -:- cząsteczka-:-:-:-:-:-Karolina
                    Boba            Boba
                       \____________/

Teraz Bob może zmierzyć stan swoich dwóch cząsteczek w bazie Bella i przesłać wynik do Karoliny klasycznym kanałem komunikacji, tak jak w protokole teleportacji. Mimo że Alicja i Karolina nigdy nie oddziaływały między sobą, ich cząsteczki są teraz splątane. W efekcie teoretycznie można zbudować kwantowy powielacz, który może zwiększyć zasięg przekazywania kubitów w kryptografii kwantowej. Należy podkreślić, że żaden z opisanych procesów nie prowadzi do kopiowania kubitów, ale zwiększa zasięg na jaki można je przesłać unikając przy tym dekoherencji.

Uogólnienie protokołu teleportacji

Możliwe jest uogólnienie protokołu teleportacji na N stanów cząsteczek, czyli cząsteczek, których stany opisuje N-wymiarowa przestrzeń Hilberta. Kombinacja stanów kwantowych trzech cząsteczek odpowiada $N^{3}$ wymiarowej przestrzeni stanu. Aby teleportować stan kwantowy, Alicja wykonuje częściowy pomiar stanów dwóch jej cząsteczek dowolnej bazie splątania w $N^{2}$ wymiarowym podsystemie. Pomiar ten ma $N^{2}$ równie prawdopodobnych wyników, które muszą zostać przesłane Bobowi klasycznym kanałem komunikcji. Bob odtwarza pożądany stan przesyłając swoje cząsteczki przez odpowiednią bramkę unitarną.

Bibliografia

• Opisy teoretyczne:
  • Brassard, Gilles, Braunstein, Samuel L., Cleve, Richard. Proceedings of the Fourth Workshop on Physics and ConsumptionTeleportation as a quantum computation. „Physica D: Nonlinear Phenomena”. 120 (1), s. 43–47, 1998. DOI: 10.1016/S0167-2789(98)00043-8.  ( wersja arXiv.org)
  • Rigolin, Gustavo. Quantum teleportation of an arbitrary two-qubit state and its relation to multipartite entanglement. „Phys. Rev. A”. 71 (3), s. 032303, 2005. DOI: 10.1103/PhysRevA.71.032303.  ( wersja arXiv.org)
  • Vaidman, Lev. Teleportation of quantum states. „Phys. Rev. A”. 49 (2), s. 1473–1476, 1994. DOI: 10.1103/PhysRevA.49.1473.  ( wersja arXiv.org)

• Pierwsza teleportacja stanu fotonów:
  • Boschi, D., Branca, S., De Martini, F., Hardy, L. i inni. Experimental Realization of Teleporting an Unknown Pure Quantum State via Dual Classical and Einstein-Podolsky-Rosen Channels. „Phys. Rev. Lett.”. 80 (6), s. 1121–1125, 1998. DOI: 10.1103/PhysRevLett.80.1121.  ( wersja arXiv.org)
  • Marcikic, I., de Riedmatten, H., Tittel, W., Zbinden, H. i inni. Long-distance teleportation of qubits at telecommunication wavelengths. „Nature”. 421 (6922), s. 509–513, 2003. DOI: 10.1038/nature01376. 
  • Ursin, Rupert, Jennewein, Thomas, Aspelmeyer, Markus, Kaltenbaek, Rainer i inni. Communications: Quantum teleportation across the Danube. „Nature”. 430 (7002), s. 849–849, 2004. DOI: 10.1038/430849a. 

• Pierwsza teleportacja stanu atomów:
  • Barrett, M. D., Chiaverini, J., Schaetz, T., Britton, J. i inni. Deterministic quantum teleportation of atomic qubits. „Nature”. 429 (6993), s. 737–739, 2004. DOI: 10.1038/nature02608. 

Linki zewnętrzne

• Karolina Głowacka, Teleportacja kwantowa i jej praktyczne zastosowania – wywiad Jacka Szczytki dla Radia Naukowego na YouTube, 8 lutego 2021 [dostęp 2021-09-09].
• Spooky action and beyond. signandsight.com, 2006-02-16. [dostęp 2016-08-21]. [wywiad z Antonem Zeilingerem nt. teleportacji kwantowej]
• Quantum Teleportation. IBM. [dostęp 2016-08-21].
• Physicists Succeed In Transferring Information Between Matter And Light. Space Media Network, 2004-10-22. [dostęp 2016-08-21].
• Captain Kirk’s Clone And The Eavesdropper. ScienceDaily, 2002-06-16. [dostęp 2016-08-21].